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$Z_{2,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}.{\frac {x_{1}-1}{s-1}}+{\frac {x_{2}}{s}},$

$Z_{3,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}Z_{2,x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}}+{\frac {x_{2}}{s}}.{\frac {x_{1}}{s-1}}+{\frac {x_{3}}{s}},$

 

et de même, au moyen de celles-ci, on obtiendrait

$Z_{3,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}.{\frac {x_{1}-1}{s-1}}.{\frac {x_{1}-2}{s-2}}+2{\frac {x_{2}}{s}}.{\frac {x_{1}}{s-1}}+{\frac {x_{3}}{s}},$

et ainsi de suite.

De cette manière, on calculera aisément la probabilité demandée, lorsque $x$ sera un petit nombre ; mais le calcul deviendra impraticable, dès que ce nombre sera un peu considérable ; et il faudra alors recourir à l’intégrale générale de l’équation (1). Cette équation linéaire a ses coefficiens variables ; néanmoins, si l’on multiplie tous ses termes par $s,$ ses coefficiens ne renfermeront les variables qu’au premier degré ; circonstance d’après laquelle il sera possible d’intégrer l’équation (1) par le moyen des intégrales définies. Mais cette méthode ne conduirait que très-difficilement à la solution du problème que nous nous sommes proposé ; c’est pourquoi nous nous bornerons à vérifier que la solution que nous avons trouvée satisfait à l’équation (1).

4. Soit, pour y parvenir,

$\Sigma t^{x}Z_{x,x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}=T_{x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}\,;$

$\Sigma$ indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs entières et positives de $x,$ y compris $x=0,$ et jusqu’à $x=\infty .$ Les valeurs