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en sont sorties ; cette suite de tirages se continue, jusqu’à ce que la somme des numéros amenés par les boules ait atteint ou surpassé un nombre donné $x\,:$ on demande la probabilité que cette somme sera égale au nombre $x$ ?

Soit $s$ le nombre total des boules contenues dans l’urne ; en sorte qu’on ait

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots x_{i}=s.$

Désignons par $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{i},$ des nombres entiers ou nuls, respectivement moindres que $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i},$ ou qui leur soient tout au plus égaux ; et faisons aussi

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots a_{i}=n.$

Par les premières règles du calcul des probabilités, si l’on fait un nombre $n$ de tirages successifs, sans remettre les boules dans l’urne, la probabilité d’amener d’abord $a_{1}$ boules n.^o 1, ensuite $a_{2}$ boules n.^o 2, puis $a_{3}$ boules n.^o 3 …, enfin $a_{i}$ boules n.^o i, sera exprimée par

${\frac {(s-n)!}{s!}}.{\frac {x_{1}!}{(x_{1}-a_{1}-1)!}}.{\frac {x_{2}!}{(x_{2}-a_{2}-1)!}}.{\frac {x_{3}!}{(x_{3}-a_{3}-1)!}}.\ldots {\frac {x_{i}!}{(x_{i}-a_{i}-1)!}}\,;$

en adoptant, en général, avec quelques géomètres, pour la commodité typographique, l’expression $k!,$ comme le symbole de $1.2.3\ldots k.$ Pour en déduire la probabilité d’amener, dans un ordre quelconque, en $n$ tirages, $a_{1}$ boule n.^o 1, $a_{2}$ boules n.^o 2, $a_{3}$ boules n.^o 3 … $a_{i}$ boules n.^o i, il faudrait multiplier cette quantité par le nombre $1.2.3\ldots n$ de permutations dont sont susceptibles les $n$ numéros amenés, si tous ces numéros étaient différens ; mais, à cause que les numéros égaux ne doivent pas être permutés entre eux, il faudra multiplier la probabilité précédemment obtenue seulement par