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$\delta \int \operatorname {d} x{\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}}=0.$

On aura donc ici

$V={\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}},\qquad P={\frac {p}{\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}}}.$

Comme $y$ manque dans $V,$ nous pourrons prendre pour équation indéfinie l’équation (C) qui, dans le cas actuel, est simplement $P=C\,;$ c’est-à-dire, en substituant,

${\frac {p}{\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}}}=C,\qquad$d’où$\quad p={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}.{\frac {a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$

ce qui donne, en intégrant,

$y={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}.a\operatorname {Arc} \left(\operatorname {Tang} .={\frac {x}{a}}\right)+C'.$

Si l’on prend l’une des extrémités de l’arc dans le plan des $yz,$ à une distance $b$ de l’axe des $z,$ on devra avoir, en même temps, $x=0,\ y=b\,;$ en mettant donc simplement $C$ pour ${\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}},$ on aura

$y=C.\operatorname {Arc} \left(\operatorname {Tang} .={\frac {x}{a}}\right)+b\,;$

dans laquelle $C$ se déterminera en fixant la situation de l’autre extrémité de l’arc demandé.

L’équation que nous venons d’obtenir est celle d’une hélice ; et c’est ce qu’il était facile de prévoir à l’avance. La plus courte ligne qu’on puisse tracer sur un cylindre, entre deux points de sa surface, doit être telle, en effet, qu’elle demeure encore la plus courte, en développant la surface de ce cylindre sur un plan ; il faut donc que, par l’effet du développement de cette surface, elle devienne une ligne droite, ce qui est la propriété caractéristique de l’hélice.