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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$-{\frac {1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}={\sqrt {\frac {u}{a}}},\quad 1+p_{1}^{2}={\frac {a}{u}},\quad p_{1}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}=\pm {\sqrt {{\frac {a}{u}}-1}}\,;$

équation qui appartient à une cycloïde engendrée par un cercle dont le diamètre est égal à $a.$

Souvent la courbe qui doit donner le maximum ou le minimum est assujettie à certaines conditions de constance, comme d’être d’une longueur donnée, de produire une aire de révolution de grandeur donnée, etc. On exprime ces conditions en écrivant que les variations des expressions des fonctions qui doivent demeurer constantes sont nulles. Ainsi, soient les conditions

$\int V'\operatorname {d} x=l',\quad \int V''\operatorname {d} x=l'',\quad \int V'''\operatorname {d} x=l''',\ldots$

en nombre quelconque, on écrira

$\delta \int V'\operatorname {d} x=0,\quad \delta \int V''\operatorname {d} x=0,\quad \delta \int V'''\operatorname {d} x=0,\ldots$

Soit, du reste,

$\delta \int V\operatorname {d} x=0$

la condition du maximum ou du minimum.

Il est clair que, si une fonction a un maximum ou un minimum, elle en aura encore un si on lui ajoute des quantités constantes ; puis donc que $\int V'\operatorname {d} x,\ \int V''\operatorname {d} x,\ \int V'''\operatorname {d} x,\ldots$ sont constantes, il en sera de même de $c'\int V'\operatorname {d} x,\ c''\int V''\operatorname {d} x,\ c'''\int V'''\operatorname {d} x,\ldots ,$ $c',c'',c''',\ldots$ représentant des constantes indéterminées ; donc on devra avoir

$\delta \left(\int V\operatorname {d} x+c'\int V'\operatorname {d} x+c''\int V''\operatorname {d} x+\ldots \right)$

$=\delta \int \left(V+c'V'+c''V''+\ldots \right)\operatorname {d} x=0.$

Nous pourrons traiter $\delta \int \left(V+c'V'+c''V''+\ldots \right)\operatorname {d} x,$ comme nous avons traité $\delta \int V\operatorname {d} x,$ dans ce qui précède, et nous trouverons ainsi le maximum ou le minimum cherché, avec les conditions auxquelles il doit satisfaire. Mais, une fois parvenus à l’équation indéfinie, il