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$V=q\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)+r\left(R-{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right)$

$+s(S-\ldots )+\ldots +Cp+C'\,;\qquad$(E)

équation qui ne s’élève qu’à l’ordre $n-2.$ seulement, et qu’on pourrait abaisser encore si $p$ était nul.

§. V. Applications diverses.

Soit proposé d’assigner la courbe, joignant deux points donnés, dont la révolution autour de l’axe des $x$ engendre une surface minimum ?

La surface de révolution considérée comme indéfinie, étant exprimée par $2\varpi \int y\operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}},$ il faudra qu’on ait

$\delta \int y\operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}=0\,;$

on a donc ici

${\begin{aligned}V&=y{\sqrt {1+p^{2}}},\\M&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=0,\\\\N&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}={\sqrt {1+p^{2}}},\\\\P&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} p}}={\frac {py}{\sqrt {1+p^{2}}}},\end{aligned}}$

et les quantités $Q,R,S,\ldots$ sont toutes nulles. Puis donc que $x$ n’entre pas dans $V,$ on peut faire usage de l’équation (D), qui est simplement ici