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2.^o Supposons qu’on ne donne que les deux limites $x',x'',y',y'',$ sans assigner, pour ces limites, les valeurs de $p',p'',q',q'',\ldots .$ Il faudra toujours, dans le développement de $\delta \int V\operatorname {d} x,$ égaler séparément à zéro la partie contenue sous le signe $\int$ et la partie en avant de ce signe. En effet, supposons que nous ayons trouvé la courbe qui satisfait au maximum ou au minimum, entre les deux points donnés, et prenons, pour les points limites, les valeurs de $p',p'',q',q'',\ldots \,;$ cherchons ensuite la courbe qui satisfait au maximum ou au minimum, pour ces valeurs fixes de $p,q,\ldots \,;$ il est manifeste que nous devrons retomber de nouveau sur la courbe dont il s’agit ; or, en fixant $p',p'',q',q'',\ldots$ tout aussi bien que $x',x'',y',y'',$ il faut, comme nous l’avons vu ci-dessus, que l’on ait l’équation (A) ; donc, cette équation devra encore avoir lieu, lorsqu’on ne fixera pas $p',p'',q',q'',\ldots$^[1]. Comme ces quantités sont indépendantes entre elles, pour que la première partie de $\delta \int V\operatorname {d} x$ soit nulle, il faudra égaler séparément à zéro les coefficiens

$Q'-{\frac {\operatorname {d} R'}{\operatorname {d} x'}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-\ldots$ de $\delta p',\quad Q''-{\frac {\operatorname {d} R''}{\operatorname {d} x''}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S''}{\operatorname {d} x''^{2}}}-\ldots$ de $\delta p'',$

$R'-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}+\ldots \ldots \ldots \ldots$ de $\delta q',\quad R''-{\frac {\operatorname {d} S''}{\operatorname {d} x''}}+\ldots \ldots \ldots \ldots$ de $\delta q'',$

$S'-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \$ de $\delta r',\quad S''-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad$ de $\delta r'',$

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1. M. Ampère est ici le premier qui ait expliqué nettement pourquoi, dans tous les cas, la quantité sous le signe $\int$ que contient l’équation commune au maximum et au minimum doit être séparément nulle. C’est le seul point sur lequel notre mémoire du tom. XIII, déjà cité, nous avait semblé vulnérable.
   J. D. G.