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1.^o Supposons d’abord que l’on donne, pour les deux limites, les valeurs $x',x'',y',y'',p',p'',\ldots$ de $x,y,p,\ldots .$ Alors, ces valeurs extrêmes étant fixes, leurs variations seront nulles, de sorte que l’équation à laquelle nous venons de parvenir se réduira simplement à

$\int \left(N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \right)\omega \operatorname {d} x=0.$

Or, on ne peut supposer $\omega =0,$ parce que, sous le signe $\int ,$ c’est le $\omega$ courant, et qu’il ne peut être nul qu’aux limites ; il faut donc que

$N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots =0\,;\qquad$(A)

de sorte que cette équation sera l’équation différentielle du maximum ou du minimum cherché. Mais si

$V=\operatorname {f} (x,y,p,q,\ldots )$

contient un coefficient différentiel de l’ordre $n,$ il est clair que cette équation sera de l’ordre $2n,$ de sorte qu’en l’intégrant elle donnera $2n$ constantes arbitraires ; or ; comme aux deux limites $x',x'',$ il faut qu’elle reproduise $y',y'',p',p'',q',q'',\ldots$^[1] en nombre $2n,$ on aura $2n$ relations pour déterminer les $2n$ constantes arbitraires introduites par l’intégration ; et on le pourra aisément.

1. On ne donne que $2n-2$ coefficiens différentiels $p',p'',q',q'',\ldots$ s’il doit y en avoir $n$ dans l’équation indéfinie ; parce que les conditions de $y=y'$ et $y=y'',$ lorsque $x=x'$ et $x=x''$ fournissent des relations restantes, le cas où l’on donnerait $2n$ coefficiens différentiels ou plus n’a pas encore été traité.