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(P) et (Q), on voit que ce sont celles d’une parrallèle à la normale à (S) au point d’incidence $(a,b,c)$ ; de sorte que le point $(x,y,z)$ est un de ceux où cette parallèle perce la sphère.

Si l’on voulait obtenir l’équation de la surface lieu de tous les points $(x,y,z),$ il ne s’agirait évidemment que d’éliminer les six paramètres $a,b,c,a',b',c'$ entre les sept équations ci-dessus. Cherchons plus particulièrement quelle est cette surface.

À raison de la variabilité et de l’indépendance de $a'$ et $b'$, l’équation (V) appartient proprement à une infinité de sphères. Ces sphères ont toutes leurs centres sur la surface séparatrice (S) ; et le rayon de chacune d’elles est à la plus courte distance de son centre à la surface rayonnante (S′) dans le rapport constant du sinus de réfraction au sinus d’incidence. Cherchons la surface qui les enveloppe toutes.

D’après ce que nous avons dit au commencement de cet article, on voit que, pour parvenir à l’équation de cette surface, il ne s’agit que d’éliminer les six paramètres $a,b,c,a',b',c'$ et les huit rapports

${\begin{array}{llll}{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a'}},&{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} a'}},&{\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a'}},&{\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} a'}}\\\\{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} b'}},&{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} b'}},&{\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b'}},&{\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} b'}}\end{array}}$

entre les cinq équations (S), (S′), (P′), (Q′), (V) et leurs différentielles partielles prises tour à tour par rapport à $a',b'$ et à leurs fonctions $a,b,c,c'$.

Or en différentiant d’abord l’équation (V) sous ce point de vue, et observant que

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a'}}={\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a}}{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a'}}+{\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b}}{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} a'}}=p{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a'}}+q{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} a'}},&\qquad {\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} a'}}=p',\\\\{\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b'}}={\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a}}{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} b'}}+{\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b}}{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} b'}}=p{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} b'}}+q{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} b'}},&\qquad {\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} b'}}=q',\\\\\end{aligned}}$

on trouvera