Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/149

${\begin{aligned}&+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p}}\delta p+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} y^{2}}}.{\frac {\delta y^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\&+\ldots \ldots +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x\operatorname {d} p}}.{\frac {\delta p\delta x}{1.2}}+\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a}}\delta a+\ldots \ldots \ldots +\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b}}\delta b+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}.{\frac {\delta x\delta a}{1.2}}+\ldots \\&+\ldots \ldots +\ldots \ldots \ldots +\ldots \end{aligned}}$

ou bien

$U=u+{\frac {\delta u}{1}}+{\frac {\delta ^{2}u}{1.2}}+{\frac {\delta ^{3}u}{1.2.3}}+\ldots ,$

en désignant par $\delta ^{2}u$ la variation de $\delta u,$ par $\delta ^{3}u$ celle de $\delta ^{2}u$ et ainsi de suite.

Or, si $\mathrm {U}$ est un maximum ou un minimum, on sait que $\delta u$ doit être nul, puisqu’il ne contient que les premières puissances des variations $\delta x,\ \delta y,\ldots ,$ et change conséquemment de signe avec elles. Au contraire $\delta ^{2}u$ n’en devra pas changer, puisqu’il contient ces variations à la seconde puissance.

Quand on demande le maximum ou le minimum d’une fonction, on ne peut souvent exprimer cette fonction que par des intégrales définies, entre les limites où la fonction doit avoir lieu. Il faut alors considérer le développement de la série de Taylor relatif à $\int V\operatorname {d} x,$ savoir :

$\int V\operatorname {d} x+{\frac {\delta \int V\operatorname {d} x}{1}}+{\frac {\delta ^{2}\int V\operatorname {d} x}{1.2}}+{\frac {\delta ^{3}\int V\operatorname {d} x}{1.2.3}}+\ldots$