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$+\int \left(N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \right)\omega \operatorname {d} x.$

§. III. Application aux questions de maxima et minima.

La dernière formule que nous venons d’obtenir sert à résoudre une des questions les plus importantes du calcul des variations, celle des maxima et minima. Une partie de cette question ressort du calcul différentiel ; mais cette partie est peu étendue ; elle ne comprend que le cas où l’on demande le maximum ou le minimum d’une fonction dans laquelle on ne fait varier que les variables courantes $x,y,\ldots .$ Ainsi, ce sera la détermination de l’ordonnée maximum ou minimum d’une certaine courbe ou d’une certaine surface. Mais si, dans une fonction, on fait varier les constantes ou paramètres, on peut se demander quelles sont les valeurs à leur attribuer, pour que la fonction jouisse d’une certaine propriété à un degré maximum ou minimum. Cette importante question a beaucoup occupé les géomètres du dernier siècle. Euler l’a résolue, en partie, dans un ouvrage ayant pour titre : Methodus inveniendi, etc.

Or, la série de Taylor donne, comme on sait, dans le cas de plusieurs variables, et conséquemment pour

$u=\operatorname {f} (x,y,p,q,\ldots a,b,c,\ldots ),$

$\operatorname {f} \left(x+\delta x,\ y+\delta y,\ p+\delta p,\ q+\delta q,\ldots a+\delta a,\ b+\delta b,\ c+\delta c,\ldots \right)$

$=u+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {\delta x^{2}}{1.2}}+\ldots$

$+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\delta y+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}.{\frac {\delta x\delta y}{1.2}}+\ldots$