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Pour $\mathrm {V} =F(x,y,p,q,\ldots ),$ où les paramètres $a,b,c,\ldots$ entrent implicitement, on a

$\delta \mathrm {V} =\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} x}}\right]\delta x+\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} a}}\right]\delta a+\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} b}}\right]\delta b+\ldots \,;$

mais, en désignant par $\mathrm {M,N,P,Q} ,\ldots$ les coefficiens différentiels de $\mathrm {V}$ par rapport aux $x,y,p,q,\ldots$ en évidence, on a

$\operatorname {d} V=M\operatorname {d} x+N\operatorname {d} y+P\operatorname {d} p+Q\operatorname {d} q+\ldots ,$

$\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} x}}\right]=M+Np+Pq+Qr+\ldots \,;$

et il en résulte

$\delta V=M\delta x+N\delta y+P\delta p+Q\delta q+\ldots .$

Si nous substituons pour $\delta y,\delta p,\delta q,\ldots$ les valeurs précédemment obtenues, il en résultera

$\delta V=(M+Np+Pq+Qr+\ldots )\delta x+N\omega +P{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}+\ldots \,;$

valeur qui, comparée à

$\delta V=\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right]\delta x+\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} a}}\right]\delta a+\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b}}\right]\delta b+\ldots =\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right]\delta x+\Omega ,$

fait voir que

$\Omega =N\omega +P{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}+\ldots$

La variation de $V,$ savoir :