Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/141

lant que, d’après la définition de la variation, semblable à celle de la différentielle,

$\delta .uv=v\delta u+u\delta v,$

nous aurons

$\delta \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\delta {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$

c’est-à-dire,

$\delta \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots \right).$

Mais, d’un autre côté

$\delta y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots$

En différentiant cette dernière équation et observant que, puisque la différentielle se prend le long de la courbe, en ne faisant varier que $x$ et $y,$ il s’ensuit que $\delta a,\ \delta b,$ doivent ici être considérées comme des constantes, on aura

$\operatorname {d} \delta x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a\operatorname {d} x}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b\operatorname {d} x}}\delta b+\ldots \right).$

En comparant entre eux les développemens de $\delta \operatorname {d} y$ et de $\operatorname {d} \delta y,$ en observant que, d’après ce qui a été prouvé ci-dessus,

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta \operatorname {d} x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x$

et que d’ailleurs, parce que l’ordre des différentiations est indifférent,