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la courbe $A'B'$ comme étant la variation de la première $\mathrm {AB}$^[1].

§. II. Construction des formules.

Soient $\mathrm {PP} '=\delta x,\ \mathrm {P} p=\operatorname {d} x\,;$ on aura (fig. 2)

$\operatorname {d} \delta x=\mathrm {P} 'p'-\mathrm {P} p=(pp'+p\mathrm {P} ')-(\mathrm {PP} '+p\mathrm {P} ')=pp'-\mathrm {PP} ',$

$\delta \operatorname {d} x=pp'-\mathrm {PP} '$

d’où l’on conclura

$\operatorname {d} \delta x=\delta \operatorname {d} x\,;$

c’est-à-dire que la différentielle de la variation est égale à la variation de la différentielle.

Le même théorème a lieu pour les fonctions. En effet, soit

$y=\operatorname {f} (x,a,b,c,\ldots ),$

qui donne

$\operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x\,;$

Si nous appliquons à cette équation une variation, en nous rappe-

1. Il est bien essentiel de remarquer que les courbes pour lesquelles il s’agit de prouver que l’une peut être considérée comme la variation de l’autre, sont des courbes individuelles, c’est-à-dire, à paramètres invariables ou numériques. Il est bien clair alors que les coefficiens du développement, par la suite de Maclaurin, doivent être regardés comme indépendans les uns des autres, puisque ces $b,b',b'',\ldots B,B',B'',\ldots$ sont numériques. Si l’on pouvait donner diverses valeurs aux paramètres des deux courbes que nous considérons, les coefficiens du développement dépendraient les uns des autres, et on ne pourrait plus regarder les coefficiens du second développement comme résultant de la variation de ceux du premier.