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Ajoutant membre à membre les quarrés de ces équations, on trouvera

${\frac {\left\{(a-a')+p(c-c')\right\}^{2}+\left\{p(b-b')-q(a-a')\right\}^{2}+\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}^{2}}{\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}^{2}+\left\{p(y-b)-q(x-a)\right\}^{2}+\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}^{2}}}={\frac {m^{4}}{n^{4}}}\,;$

au moyen de quoi l’équation (2) se réduira simplement à

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}.\ (\mathrm {V} )$

Ainsi les coordonnées du point $(x,y,z)$ de la direction du rayon réfracté, qui répond à des valeurs quelconques de $a'$ et $b',$ se déduiront finalement de sept équations

$\mathrm {S=0,\quad (S)\qquad S'=0,\quad (S')}$

$(a-a')+p'(c-c')=0,\quad$(P’)$\qquad (b-b')+q'(c-c')=0,\quad$(Q’)

$(x-a)+p(z-c)=-{\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(a-a')+p(c-c')\right\},\qquad$(P)

$(y-b)+q(z-c)=-{\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(b-b')+q(c-c')\right\},\qquad$(Q)

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}\,;$ (V)

de sorte qu’en éliminant des trois dernières $a,b,c,c',$, au moyen des quatre premières, on pourra en tirer les valeurs de $x,y,z$, en fonction des variables indépendantes $a',b'$.

On remarquera que l’équation (V) est celle d’une sphère qui a son centre au point d’incidence $(a,b,c),$ et dont le rayon ${\frac {n}{m}}{\sqrt {(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}}}$ est à la distance ${\sqrt {(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}}}$ de son centre à la surface rayonnante dans le rapport constant du sinus de réfraction au sinus d’incidence. Quant aux équations