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\mathrm {{\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}} +\ldots =n\left(R^{2}+r^{2}\right).

Si le point $\mathrm {P}$ était pris sur la circonférence même du cercle inscrit, on aurait $R=r$ , et conséquemment

{\overline {\mathrm {PA} }}^{2}.a+{\overline {\mathrm {PB} }}^{2}.b+{\overline {\mathrm {PC} }}^{2}.c+\ldots =2r^{2}(a+b+c+\ldots )

et si, en outre le polygone était régulier, on aurait

\mathrm {{\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}} +\ldots =2nr^{2}.

QUESTIONS PROPOSÉES.

Théorème de trigonométrie.

Soit un triangle sphérique quelconque $\mathrm {ABC,}$ et soit $\mathrm {P}$ un point de la sphère disposé d’une manière quelconque par rapport à ce triangle. Soient en outre $\mathrm {A',B',C'}$ respectivement, les points où les côtés $\mathrm {BC,CA,AB,}$ sont coupés par les arcs de grands cercles $\mathrm {AP,BP,CP.}$ On propose de démontrer que

\left.{\begin{aligned}&\mathrm {\left({\frac {\operatorname {Sin} .PA'}{\operatorname {Sin} .AA'}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {Sin} .PB'}{\operatorname {Sin} .BB'}}.{\frac {\operatorname {Sin} .PC'}{\operatorname {Sin} .CC'}}\operatorname {Cos} .BC} \\\\+&\mathrm {\left({\frac {\operatorname {Sin} .PB'}{\operatorname {Sin} .BB'}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {Sin} .PC'}{\operatorname {Sin} .CC'}}.{\frac {\operatorname {Sin} .PA'}{\operatorname {Sin} .AA'}}\operatorname {Cos} .CA} \\\\+&\mathrm {\left({\frac {\operatorname {Sin} .PC'}{\operatorname {Sin} .CC'}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {Sin} .PA'}{\operatorname {Sin} .AA'}}.{\frac {\operatorname {Sin} .PB'}{\operatorname {Sin} .BB'}}\operatorname {Cos} .AB} \end{aligned}}\right\}=1.