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lygone, comme M. Sturm l’avait déjà remarqué (tom. XV, pag. 256).

Si le point $\mathrm {O}$ coïncide avec l’un des sommets du polygone, deux des droites $\mathrm {OP_{1},OP_{2},OP_{3},\ldots OP_{n}} ,$ en sont des côtés et les autres sont des diagonales ; mais alors $k=r\,;$ en désignant donc par $c$ l’un des côtés du polygone et par $d_{1},d_{2},d_{3},\ldots d_{n-3}$ les diagonales menées d’un sommet à tous les autres, on aura

$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+\ldots +d_{n-3}^{2}+2c^{2}=2nr^{2}\,;$

d’où

$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+\ldots +d_{n-3}^{2}=a\left(2nr^{2}-c^{2}\right).$

Si, par exemple, il s’agit de l’hexagone régulier, ou $n=6$ et $c=r,$ on aura

$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}=10r^{2}\,;$

mais ici, l’on a $d_{2}=2r$ et $d_{3}=d_{1}$ ; donc

$2d_{1}^{2}+4r^{2}=10r^{2},$

ou$\qquad \qquad \qquad \qquad d_{1}^{2}=3r^{2}\quad$et$\quad d_{1}=r{\sqrt {3}},$

comme on doit l’avoir en effet.

THÉORÈME. Un polygone quelconque étant circonscrit à un cercle, et un autre cercle étant concentrique à celui-là la somme des produits des côtés du polygone par les quarrés des distances d’un point quelconque de la circonférence du second cercle aux points de contact de ces côtés avec le premier, est une quantité constante.

Démonstration. Soit $\mathrm {O}$ le centre commun des deux cercles ; soit $r$ le rayon de celui auquel le polygone est circonscrit, et soit $R$ le rayon de l’autre. Représentons par $a,b,c,\ldots$ les côtés consécutifs du polygone ; et désignons leurs points de contact par $\mathrm {A,}$