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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Mais si, dans la formule d’analise que nous avons démontrée au commencement de cet article, savoir :

$1+{\frac {x}{1}}.{\frac {y}{1}}+{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}.{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}+{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}.{\frac {x-2}{3}}.{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}.{\frac {y-2}{3}}$

$+\ldots ={\frac {x+y}{1}}.{\frac {x+y-1}{2}}\ldots {\frac {x+1}{y}},$

on fait $x=m-t$ et $y=t,$ elle deviendra

$=1+{\frac {m-t}{1}}.{\frac {t}{1}}+{\frac {m-t}{1}}.{\frac {m-t-1}{2}}.{\frac {t}{1}}.{\frac {t-1}{2}}+\ldots$

$={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-t+1}{t}},$

au moyen de quoi notre terme général se réduit à

$n\left({\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-t+1}{t}}k^{t}r^{m-t}\right)^{2}$

de sorte qu’on a finalement

${\overline {\mathrm {OP_{1}} }}^{2m}+{\overline {\mathrm {OP_{2}} }}^{2m}+{\overline {\mathrm {OP_{3}} }}^{2m}+\ldots +{\overline {\mathrm {OP_{n}} }}^{2m}$

$=n\left\{\left(r^{m}\right)^{2}+\left({\frac {m}{1}}.kr^{m-1}\right)^{2}+\left({\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}k^{2}r^{m-2}\right)^{2}\right.$

$\left.+\left({\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}k^{3}r^{m-3}\right)^{2}+\ldots \right\}$

qui est précisément le théorème énoncé à la page 344 du précédent volume, que nous nous étions proposés de démontrer.

En faisant $m=1,$ on trouve

${\overline {\mathrm {OP_{1}} }}^{2}+{\overline {\mathrm {OP_{2}} }}^{2}+{\overline {\mathrm {OP_{3}} }}^{2}+\ldots +{\overline {\mathrm {OP_{n}} }}^{2}=n\left(r^{2}+k^{2}\right),$

ce qui donne une expression bien simple de la somme des quarrés des droites menées aux sommets d’un polygone régulier d’un point quelconque de son plan, et montre que cette somme est la même pour tous les points également distants du centre du po-