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Si $p$ est un nombre impair, non multiple de $n,$ toutes les lignes du second membre de cette équation seront nulles, en vertu de la formule (C) ; de sorte qu’en remplaçant $p$ par $2\lambda +1,$ on a

$\left[\operatorname {Cos} .a\right]^{2\lambda +1}+\left[\operatorname {Cos} .(a+x)\right]^{2\lambda +1}+\left[\operatorname {Cos} .(a+2x)\right]^{2\lambda +1}+\ldots +$

$\left[\operatorname {Cos} .(a+{\overline {n-1}}.x)\right]^{2\lambda +1}=0,\quad$(D)

Si, au contraire, $p$ est un nombre pair, les cosinus de la dernière ligne seront tous égaux à l’unité, et au nombre de $n,$ et leur coefficient commun sera

${\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}\ldots {\frac {p-{\frac {p-2}{2}}}{\frac {p}{2}}}$

ou, en changant $p$ en $2\lambda$

${\frac {2\lambda }{1}}.{\frac {2\lambda -1}{2}}.{\frac {2\lambda -2}{3}}\ldots {\frac {2\lambda +1}{\lambda }}$

Il faudra donc prendre $n$ fois la moitié de ce coefficient, et multiplier le résultat par ${\frac {1}{2^{p-1}}}$ ou par ${\frac {1}{2^{2\lambda -1}}}\,;$ ce qui revient à multiplier de suite ce coefficient, tout entier par ${\frac {n}{2^{2\lambda }}}.$ On a donc

$\left[\operatorname {Cos} .a\right]^{2\lambda }+\left[\operatorname {Cos} .(a+x)\right]^{2\lambda }+\left[\operatorname {Cos} .(a+2x)\right]^{2\lambda }+\ldots +\left[\operatorname {Cos} .(a+{\overline {n-1}}.x)\right]^{2\lambda }$

$={\frac {n}{2^{2\lambda }}}.{\frac {2\lambda }{1}}.{\frac {2\lambda -1}{2}}.{\frac {2\lambda -2}{3}}\ldots {\frac {\lambda +1}{\lambda }}.\qquad$(E)

En conséquence, si l’on fait successivement $\lambda$ égal à $0,1,2,3,\ldots ,$ on tirera des formules (D) et (E)