Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/123

points inconnus $\mathrm {C,C'}$ des perpendiculaires $\mathrm {CH,C'H'}$ sur $\mathrm {AB,A'B'.}$

Cela posé, il a déjà été démontré (Annales, tom. XIII, pag. 137) que, pour que la somme des aires des bases du tronc fût un minimum, il fallait que l’arête dont la projection est $\mathrm {CC'}$ fût tellement située, que les plans de ces bases fussent également inclinés sur le plan de la face latérale opposée $\mathrm {ABB'A'} \,;$ ce qui se réduit évidemment à faire en sorte que les perpendiculaires $\mathrm {CH,C'H'}$ soient de même longueur. Il s’agit donc de savoir de quelle manière il faudra placer les points $\mathrm {C,C'}$ ou seulement l’un d’eux sur $\mathrm {DD',}$ pour que cette condition soit remplie.

Les triangles rectangles semblables $\mathrm {DGE,DHC,}$ d’une part, et les triangles rectangles semblables $\mathrm {D'GE,D'H'C',}$ d’une autre, donnent

$\mathrm {DE:CD::EG:CH={\frac {CD\times EG}{DE}}} ,$

$\mathrm {D'E:C'D'::EG:C'H'={\frac {C'D'\times EG}{D'E}}} \,;$

puis donc qu’on doit avoir $\mathrm {CH=C'H'} ,$ on aura, en supprimant le facteur commun $\mathrm {EG,}$

$\mathrm {{\frac {CD}{DE}}={\frac {C'D'}{DE}}} ,$

c’est-à-dire,

$\mathrm {CD:CD'::DE:D'E} .$

Mais, parce que la droite $\mathrm {EF}$ divise l’angle $\mathrm {DED'}$ en deux parties égales, on a

$\mathrm {DE:D'E::DF:D'F} \,;$

donc, à cause du rapport commun,