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${\frac {p(x-a)+q(y-b)-(z-c)}{\sqrt {\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}}}}\,;$

d’où on conclura, pour les sinus de ces mêmes angles,

${\sqrt {\frac {\left\{(a-a')+p(c-c')\right\}^{2}+\left\{p(b-b')-q(a-a')\right\}^{2}+\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}^{2}}{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}}}}$

${\sqrt {\frac {\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}^{2}+\left\{p(y-b)-q(x-a)\right\}^{2}+\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}^{2}}{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}}}}$

Si donc le rapport constant du sinus d’incidence au sinus de réfraction est celui de $m$ à $n$, en divisant ces deux formules l’une par l’autre, on aura, en quarrant

${\frac {\left\{(a-a')+p(c-c')\right\}^{2}+\left\{p(b-b')-q(a-a')\right\}^{2}+\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}^{2}}{\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}^{2}+\left\{p(y-b)-q(x-a)\right\}^{2}+\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}^{2}}}\times$

${\frac {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}}}={\frac {m^{2}}{n^{2}}}.$ (2)

Remarquons présentement que les équations de la normale à la surface $\mathrm {S} '$ au point $(a',b',c')$ sont

$X-a'=-p'(Z-c'),\qquad Y-b'=-q'(Z-c')\,;$

mais les équations du rayon incident peuvent être écrites ainsi

$X-a'={\frac {a-a'}{c-c'}}(Z-c'),\qquad Y-b'={\frac {b-b'}{c-c'}}(Z-c')\,;$

puis donc que cette normale et ce rayon doivent se confondre en une seule et même droite, on doit avoir

${\frac {a-a'}{c-c'}}=-p',\qquad {\frac {b-b'}{c-c'}}=-q'\,;$

c’est-à-dire,