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Si $b$ devenait négatif, on devrait prendre $\varphi (x)=0,$ et l’on aurait, en conséquence,

$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=0.$

Pour établir les formules (17) et (18), nous avons supposé que le produit

(20)$\qquad \qquad \left(x-x_{1}\right)\operatorname {f} (x)$

convergeait vers une limite finie $f_{1},$ tandis que le facteur $x-x_{1}$ s’approchait indéfiniment de zéro. Supposons maintenant que le produit (20) ait une limite infinie, et que, dans la suite

$\left(x-x_{1}\right)\operatorname {f} (x),\quad \left(x-x_{1}\right)^{2}\operatorname {f} (x),\quad \left(x-x_{1}\right)^{3}\operatorname {f} (x),\ldots \left(x-x_{1}\right)^{m}\operatorname {f} (x),$

le terme

(21)$\qquad \qquad \left(x-x_{1}\right)^{m}\operatorname {f} (x)$

soit le premier qui ait une limite finie. Alors, si l’on pose

(22)$\qquad \left(x-x_{1}\right)^{m}\operatorname {f} (x)=f(x)=f\left(x_{1}\right)+{\frac {x-x_{1}}{1}}f'\left(x_{1}\right)+$

$\ldots +{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{m-1}}{12.\ldots (m-1)}}f^{(m-1)}\left(x_{1}\right)+\left(x-x_{1}\right)^{m}\psi (x),$

la fonction $\psi (x)$ conservera, en général, une valeur finie pour $x=x_{1},$ et remplira la condition énoncée dans le théorème. Comme on aura d’ailleurs

$\psi (x)=\operatorname {f} (x)-{\frac {f'\left(x_{1}\right)}{1}}{\frac {1}{\left(x-x_{1}\right)^{m-1}}}-{\frac {f''\left(x_{1}\right)}{1.2}}{\frac {1}{\left(x-x_{1}\right)^{m-2}}}-$

$\ldots -{\frac {f^{(m-1)}\left(x_{1}\right)}{1.2.\ldots (m-1)}}.{\frac {1}{x-x_{1}}},$

il est clair qu’on pourra prendre