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obtiendra, en général, une valeur finie pour $x=x_{1}\,;$ et si, entre les racines de l’équation

(12)$\qquad \qquad {\frac {\operatorname {f} }{\operatorname {f} (x)}}=0,$

la racine $x_{1}$ est la seule dans laquelle le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ soit positif, cette différence remplira les conditions énoncées dans le théorème. On pourra donc prendre

(13)$\qquad \varphi (x)={\frac {\operatorname {f} _{1}}{x-x_{1}}}={\frac {\operatorname {f} _{1}}{x-a-b{\sqrt {-1}}}}.$

Cela posé, on trouve 1.^o 

(14)$\qquad \qquad \Phi =\operatorname {f} _{1}.$

2.^o si $b$ est nul

(15)$\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x=\operatorname {f} _{1}\operatorname {Sin} .\int _{-X}^{+X}{\frac {\operatorname {f} _{1}.\operatorname {d} x}{x-a}}=\operatorname {f} _{1}.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}l\left({\frac {X-a}{X+a}}\right)^{2}=0,$

et, si $b$ est positif

(16) $\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x=\operatorname {Sin} .\int _{-X}^{+X}{\frac {\operatorname {f} _{1}.\operatorname {d} x}{x-a-b{\sqrt {-1}}}}$

$=\operatorname {f} _{1}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {b{\sqrt {-1}}.\operatorname {d} x}{(x-a)^{2}+b^{2}}}=\varpi \operatorname {f} _{1}{\sqrt {-1}}.$

Par suite, l’équation (10) donnera, si $b$ est nul,

(17)$\qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=\varpi \operatorname {f} _{1}.{\sqrt {-1}}.$

et, si $b$ est positif

(18)$\qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=2\varpi \operatorname {f} _{1}.{\sqrt {-1}}.$