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Les intégrales comprises dans cette dernière formule doivent encore être réduites à leurs valeurs principales.

Si la quantité $\mathrm {F}$ s’évanouit, on aura simplement

(11) $\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x+\varpi \Phi .{\sqrt {-1}}.$

Corollaire III. Supposons que l’expression

$\operatorname {f} (x+y{\sqrt {-1}})$

s’évanouisse 1.^o pour $x=\pm \infty ,$ quel que soit $y\,;$ 2.^o pour $y=\infty$ quel que soit $x,$ mais devienne infinie pour un ou plusieurs systèmes de valeurs positives ou négatives de $x,$ et de valeurs nulles ou positives de $y.$ Alors, pour déterminer l’intégrale

$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x,$

à l’aide de la formule (10) ou (11), il suffira de trouver une fonction rationnelle de $x$ telle que la différence

$\operatorname {f} (x)-\varphi (x)$

remplisse les conditions énoncées dans le théorème. En cherchant cette fonction rationnelle, et supposant de plus $F=0,$ on se trouvera conduit à la formule (3). C’est ce que l’on reconnaît sans peine, en suivant la méthode que nous allons indiquer.

Considérons d’abord le cas où l’expression (10) devient infinie pour $x=a$ et $y=b,\ b$ représentant une quantité positive ou nulle. Faisons, pour abréger, $a+b{\sqrt {-1}}=x_{1},$ et désignons par $\operatorname {f} _{1}$ la limite vers laquelle converge le produit $(x-x_{1})\operatorname {f} (x),$ tandis que le facteur $x-x_{1}$ converge vers zéro la différence

$\operatorname {f} (x)-{\frac {\operatorname {f} _{1}}{x-x_{1}}}={\frac {(x-x_{1})\operatorname {f} (x)-\operatorname {f} _{1}}{(x-x_{1})}}$