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$=-\mathrm {F} {\sqrt {-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {2X\operatorname {d} y}{X^{2}+y^{2}}}=-\varpi \mathrm {F} {\sqrt {-1}}.$

Cette dernière équation deviendra rigoureuse, si l’on pose $X=\infty ,$ et se réduira dès lors à la formule (1).

Observons toutefois que, si l’intégrale définie

(6)$\qquad \qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x$

est du nombre de celles dont les valeurs générales sont indéterminées, la formule (1) fournira seulement une valeur particulière de l’intégrale (6) ; savoir, celle qui sert de limite à l’intégrale (2) et que nous avons nommée valeur principale.

Corollaire I. Lorsque la quantité désignée par $\mathrm {F}$ s’évanouit, l’intégrale (6) n’admet qu’une seule valeur, qui se réduit à zéro, en sorte qu’on a

(7)$\qquad \qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=0.$

Ainsi, par exemple, si l’on prend

$\operatorname {f} (x)={\frac {e^{ax{\sqrt {-1}}}-e^{-a}}{1+x^{2}}}={\frac {\operatorname {Cos} .ax+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .ax}{1+x^{2}}}-{\frac {e^{-a}}{1+x^{2}}}\,;$

on trouvera

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {Cos} .ax+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .ax}{1+x^{2}}}\operatorname {d} x-e^{-a}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}=0\,;$

et, par suite