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Ajoutons que, dans le cas où l’équation (1) a des racines réelles, il est facile de transformer la valeur principale de l’intégrale

$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x,$

qui compose le premier membre de la formule (3), en une intégrale définie, dans laquelle la fonction sous le signe $\int$ cesse de devenir infiniment grande, pour des valeurs réelles de la variable $x.$

Comme la formule (3) fournit les valeurs d’une multitude d’intégrales définies, il ne sera pas inutile d’en donner une démonstration directe. La démonstration dont il s’agit sera l’objet de la première partie de ce mémoire. Dans la seconde j’indiquerai les applications les plus remarquables de cette formule.

Première Partie.

La formule (3) se déduit très-facilement d’un théorème que nous allons établir en peu de mots.

THÉORÈME. Si l’on désigne par $\operatorname {f} (x)$ une fonction telle que l’expression $\operatorname {f} \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)$ s’évanouisse 1.^o pour $x=\pm \infty ,$ quel que soit $y\,;$ 2.^o pour $y=\infty ,$ quel que soit $x,$ et demeure toujours finie et continue, entre les limites $x=-\infty ,x=+\infty ,y=0,y=\infty \,;$ et si, de plus, on nomme $\mathrm {F}$ la limite vers laquelle converge le produit $x\operatorname {f} (x),$ tandis que la valeur numérique de $x$ devient infiniment grande ; on aura

(1)$\qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=-\varpi \mathrm {F} .{\sqrt {-1}}.$

Démonstration. Pour établir ce théorème, nous chercherons, d’abord la valeur de l’intégrale