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C’est ce que l’on démontre sans peine, à l’aide de la méthode que j’ai employée dans la 34.^me leçon du calcul infinitésimal.

Si l’équation (1) avait plusieurs racines égales à $x_{1}\,;$ en désignant par $m$ le nombre de ces racines, et par $\varepsilon$ un nombre infiniment petit, il faudrait supposer, dans la formule (2) non plus

$\operatorname {f} _{1}=\varepsilon \operatorname {f} (x_{1}+\varepsilon ),$

mais

$\operatorname {f} _{1}={\frac {1}{1.2.3.\ldots .(m-1)}}.{\frac {\operatorname {d} ^{m-1}\left[\varepsilon ^{m}.\operatorname {f} (x_{1}+\varepsilon )\right]}{\operatorname {d} \varepsilon ^{m-1}}}.\qquad$^[1]

Enfin, si, dans la racine $x_{1},$ le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ se réduisait à la limite des quantités positives décroissantes, c’est-à-dire, à zéro, ou, en d’autres termes, si la racine $x_{1}$ devenait réelle, le terme $f_{1}$ correspondant à cette racine, devrait être réduit à moitié. Dans la même hypothèse, l’équation (3) fournirait, non plus la valeur générale de l’intégrale

$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x,$

qui deviendrait indéterminée, mais sa valeur principale, c’est-à-dire, la limite vers laquelle convergerait la somme

$\int _{-\infty }^{x_{1}-\varepsilon }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x+\int _{x_{1}+\varepsilon }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x$

tandis que $\varepsilon$ s’approcherait indéfiniment de zéro. Des remarques doivent être faites à l’égard de toutes les racines de semblables doivent être faites l’équation (1).

1. Mémoire sur les intégrales prises entre des limites imaginaires.