Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/99

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Sur la division de la ligne droite en parties égales ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

On démontre, dans tous les traités élémentaires de géométrie, que deux droites issues d’un même point sont coupées en parties proportionnelles par des parallèles ; mais on n’y démontre pas formellement que deux parallèles sont coupées proportionnellement

$x=(a)^{\frac {p\pm 1}{mp\pm 1}},$

et disposer ensuite de ce nombre indéterminé $p$ de manière que $mp\pm 1$ soit une puissance de $2\,;$ soit $2^{n}$ cette puissance, on aura ainsi

$x=(a)^{\frac {p\pm 1}{2^{n}}}={\sqrt[{2^{n}}]{a^{p\pm 1}}},$

qui se construira sans d’autre difficulté que la longueur des opérations.

Si l’on a, par exemple, comme dans la duplication du cube,

$x={\sqrt[{3}]{2a^{3}}}=a{\sqrt[{3}]{2}}=a(2)^{\frac {1}{3}},$

en prenant $p=11$ et les signes inférieurs ; à l’exposant ${\frac {1}{3}}={\frac {11}{33}}$ on pourra substituer ${\frac {10}{32}}={\frac {5}{16}}$ qui n’en diffère que de ${\frac {1}{48}}$, et l’on aura ainsi sensiblement