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{\sqrt[{3}]{2}}-x<0,00165\,;

d’où l’on voit que la différence en moins de $\mathrm {AH}$ avec la véritable longueur du cube double est environ six fois plus petite que la centième partie de $\mathrm {AB.}$

Si au triple de la dernière valeur approchée de $\mathrm {AH,}$ savoir, $3,77484,$ on ajoute la première $1,26492,$ et qu’on prenne le quart de la somme $5,03976,$ on aura $1,25994$ qui ne diffère guère que d’un cinquante millième de la véritable longueur du côté du cube double de celui dont le côté est $\mathrm {AB}$ ^[1].

↑ Ceux de nos lecteurs pour qui ces constructions approchées, dont la première idée paraît due à Viète, peuvent offrir quelque intérêt, trouveront, à la page 245 du VIII.^e volume des Annales, quelques rectifications approchées de la circonférence ; ils trouveront aussi, à la page 200 du X.^e volume, une construction approchée du problème de la trisection de l’angle, et à la page 242, du même volume, une construction approchée du problème de la duplication du cube.
La recherche de ces sortes de constructions pourrait, au surplus, être assujettie à des procédés généraux. On sait, en effet, que toute la difficulté des problèmes qui dépendent d’une géométrie élevée tient à ce que les formules qui donnent les valeurs des inconnues renferment des radicaux de degrés plus ou moins élevés, tandis que nous ne savons construire, avec la règle et le compas, que les radicaux du second degré. Tout se réduirait donc à savoir approximativement substituer à ces radicaux des radicaux du second degré, et avec quel degré d’approximation on voudrait. Or, c’est là une chose toujours possible, comme on va le voir.

Soit la formule

$x={\sqrt[{m}]{a}}=(a)^{\frac {1}{m}}=(a)^{\frac {p}{mp}},$

dans laquelle nous supposons $m$ un nombre premier impair et où $p$ être un nombre quelconque. Si nous supposons que ce nombre $p$ soit grand, nous pourrons poser approximativement

[p98-1] Ceux de nos lecteurs pour qui ces constructions approchées, dont la première idée paraît due à Viète, peuvent offrir quelque intérêt, trouveront, à la page 245 du VIII.^e volume des Annales, quelques rectifications approchées de la circonférence ; ils trouveront aussi, à la page 200 du X.^e volume, une construction approchée du problème de la trisection de l’angle, et à la page 242, du même volume, une construction approchée du problème de la duplication du cube.
La recherche de ces sortes de constructions pourrait, au surplus, être assujettie à des procédés généraux. On sait, en effet, que toute la difficulté des problèmes qui dépendent d’une géométrie élevée tient à ce que les formules qui donnent les valeurs des inconnues renferment des radicaux de degrés plus ou moins élevés, tandis que nous ne savons construire, avec la règle et le compas, que les radicaux du second degré. Tout se réduirait donc à savoir approximativement substituer à ces radicaux des radicaux du second degré, et avec quel degré d’approximation on voudrait. Or, c’est là une chose toujours possible, comme on va le voir.

Soit la formule

$x={\sqrt[{m}]{a}}=(a)^{\frac {1}{m}}=(a)^{\frac {p}{mp}},$

dans laquelle nous supposons $m$ un nombre premier impair et où $p$ être un nombre quelconque. Si nous supposons que ce nombre $p$ soit grand, nous pourrons poser approximativement

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