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$\mathrm {BQ}$ qui leur soient proportionnelles, et qu’on mène ensuite les droites $\mathrm {AQ}$ et $\mathrm {BP} \,;$ ces deux droites se couperont sur la perpendiculaire $\mathrm {CC'}$ abaissée du sommet $\mathrm {C}$ du triangle sur la direction de sa base.

Démonstration. Soient faits

$\mathrm {{\frac {AC}{AP}}={\frac {BC}{BQ}}} =m,$

et soient abaissées, des points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ des perpendiculaires $\mathrm {PM}$ et $\mathrm {QN}$ sur la direction de $\mathrm {AB} .$ Les triangles rectangles $\mathrm {AMP,BNQ} ,$ respectivement semblables aux triangles rectangles $\mathrm {CC'A,CC'B}$ donneront

${\begin{array}{ll}\mathrm {PM} ={\frac {\mathrm {C'A} }{m}},&\mathrm {QN} ={\frac {\mathrm {C'B} }{m}}\,;\\\\\mathrm {AM} ={\frac {\mathrm {CC'} }{m}},&\mathrm {BN} ={\frac {\mathrm {CC'} }{m}}.\end{array}}$

Cela posé, soient respectivement $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ les points où la droite $\mathrm {CC'}$ est coupée par les droites $\mathrm {AQ}$ et $\mathrm {BP} \,;$ les triangles rectangles $\mathrm {ANQ,BMP} ,$ respectivement semblables aux triangles rectangles $\mathrm {AC'X,BC'Y} ,$ donneront

$\mathrm {AN:QN::AC':C'X={\frac {AC'\times QN}{AN}}} ={\frac {\mathrm {AC} '\times {\frac {\mathrm {BC} '}{m}}}{\mathrm {AB} +{\frac {\mathrm {CC} '}{m}}}}={\frac {\mathrm {AC'\times BC'} }{m.\mathrm {AB+CC'} }},$

de cause, et pour ne point priver ses contemporains d’un ouvrage recommandable à tant d’autres titres, qu’il s’est résigné à ranger au nombre des axiomes une proposition qu’il avait vainement tenté de démontrer.

J. D. G.