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nous pourrons résumer tout ce qui précède ainsi qu’il suit : $a^{\frac {m}{n}},$ quel que soit le signe de ${\frac {m}{n}},$ donne pour

$a>0\mathrm {\ et\ } \left\{{\begin{aligned}&{\frac {m}{n}}={\frac {2m'+1}{2n'}}\,\mathrm {deux\ valeurs\ r{\acute {e}}elles\ de\ signes\ contraires\ } \pm A,\\&\left.{\begin{aligned}&{\frac {m}{n}}={\frac {2m'+1}{2n'+1}}\\&{\frac {m}{n}}={\frac {2m'}{2n'+1}}\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {une\ seule\ valeur\ r{\acute {e}}elle\ positive} \ldots +A,\\\end{aligned}}\right.$

$a<0\mathrm {\ et\ } \left\{{\begin{aligned}&{\frac {m}{n}}={\frac {2m'+1}{2n'}}\mathrm {\ aucune\ valeur\ r{\acute {e}}elle,} \\&{\frac {m}{n}}={\frac {2m'+1}{2n'+1}}\mathrm {\ une\ seule\ valeur\ r{\acute {e}}elle\ n{\acute {e}}gative} \ldots -A,\\&{\frac {m}{n}}={\frac {2m'}{2n'+1}}\mathrm {\ une\ seule\ valeur\ r{\acute {e}}elle\ positive} \ldots +A.\\\end{aligned}}\right.$

6. Ces principes posés, entrons en matière. Convenons de représenter constamment par $\mathrm {O}$ l’origine des coordonnées, que nous supposerons rectangulaires, en plaçant les lettres $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sur les axes des $x$ et des $y,$ dans le sens positif, et les lettres $\mathrm {X',Y'}$ sur les mêmes axes, dans le sens négatif ; de manière que l’angle $\mathrm {XOY}$ soit celui des coordonnées positives.

Proposons-nous d’abord de construire la logarithmique donnée par l’équation

$y=a^{x},$

dans laquelle nous supposons $a$ un nombre positif. Pour suivre plus aisément le cours de la courbe, partageons l’unité linéaire à laquelle les abscisses sont rapportées en $4q+2$ parties égales, $q$ étant supposé un très-grand nombre entier, et faisons croître $x,$