contrera encore et fera avec un angle aigu plus grand que celui qu’on avait supposé le plus grand de tous ceux que faisaient avec cette droite les obliques qui, partant du point rencontraient donc, ajoute-t-on, la supposition d’une dernière oblique rencontrant ne saurait être admise ; d’où il suit que toutes les obliques partant du point rencontrent cette droite ; que par conséquent la perpendiculaire est la seule qui ne la rencontre pas, et qu’ainsi, par un même point pris hors d’une droite on ne saurait lui mener qu’une seule parallèle.
Nous croyons nous rappeler qu’en donnant cette démonstration on a observé que M. Legendre y avait objecté que, pour qu’elle fût concluante, il aurait fallu prouver que la dernière oblique sécante ne rencontrait pas la perpendiculaire à l’infini.
Il ne paraît pas qu’on ait regardé cette objection comme sérieuse, et cependant elle détruit absolument le raisonnement que nous venons de rappeler, ainsi que nous allons le faire voir.
Supposons, en effet, qu’en prenant les parties égales entre elles, les angles forment une suite convergente dont la somme ait une limite moindre que l’angle droit, égale à l’angle aigu par exemple. Il est évident qu’alors toute oblique située au-dessous de quelque voisine qu’elle en puisse être d’ailleurs, rencontrera tandis qu’au contraire aucune oblique au-delà de cette droite ne pourra jouir d’une pareille propriété. En ce cas, serait réellement la dernière coupante, et elle irait rencontrer à l’infini ; il serait donc alors absolument faux d’appliquer le raisonnement côté pour prouver qu’une oblique moins inclinée que doit rencontrer
Il est donc vrai de dire que rien ne sera prouvé tant qu’on n’aura pas établi que la dernière des obliques qui rencontre la rencontre à une distance finie du point ce qu’on sent bien être impossible.
Sans qu’il soit nécessaire d’éclaircir l’objection de M. Legendre
