et par suite la somme des angles du triangle total sera la même que celle des angles du triangle total D’autre part, étant, par hypothèse, plus grand que on aura aussi d’où ou bien ce qui prouve que l’angle est plus petit que On doit remarquer, en outre, que est le plus grand côté du triangle
Cela posé, construisons un triangle qui soit par rapport au triangle ce qu’est celui-ci par rapport au triangle la somme des trois angles de ce nouveau triangle sera encore égale à la somme des trois angles du triangle primitif, et l’angle sera moindre que le quart de l’angle
En continuant donc ainsi, les angles en formeront une suite décroissant plus rapidement que ne le fait la progression tandis que la somme des angles du triangle restera constamment la même. Or, la limite de l’angle est évidemment égale à zéro. « À cette limite, le point viendra se placer sur la somme des angles du triangle se réduira donc au dernier des angles lequel, dans cette position, vaudra deux angles droits ; donc la somme des angles du triangle primitif doit aussi avoir été égale à deux angles droits ».
Sans doute il n’y a aucune objection à faire contre tout ce qui précède le passage que nous avons marqué de guillemets ; mais voyons s’il en est de même de celui-ci. Ce qu’il contient repose essentiellement sur ce principe d’une apparente évidence, que, « lorsque la limite d’un angle est zéro (fig. 2), la limite de la distance au côté d’un point quelconque du côté est aussi égale à zéro » ; ce qui revient à dire qu’à la limite le point tombera sur ». Or, il est facile de prouver que ce principe ne saurait être admis.
En effet, divisons l’angle (fig. 3) successivement en deux, quatre, huit,… parties égales par des droites
