Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/83

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Examen de quelques tentatives de théorie des parallèles ;

Par M. Stein, professeur de mathématiques au gymnase
de Trèves, ancien élève de l’école polytechnique.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Malgré l’inutilité des efforts de ceux qui se sont occupés de démontrer la théorie des parallèles, sans autre secours que celui des axiomes d’Euclide, le XI.^me seul excepté, on ne cesse de voir éclore de nouvelles tentatives pour parvenir à ce but.

I. C’est ainsi que M. Legendre, qui semblait enfin avoir reconnu comme tout-à-fait insurmontable la difficulté dont il s’agit, y est cependant revenu de nouveau, dans la douzième édition de ses Élémens de géométrie, et a même annoncé dans sa préface, d’une manière très-positive, qu’il était parvenu à établir la théorie des parallèles sans aucun postulat nouveau. Examinons, en suivant pas à pas les raisonnemens de cet habile géomètre, si son assertion est fondée.

Soit $\mathrm {ABC}$ un triangle quelconque (fig. 1) dont $\mathrm {AC}$ soit le plus grand côté, prolongé au-delà de son extrémité $\mathrm {C} ,$ vers $\mathrm {P,P',P''} ,\ldots$ Soit $\mathrm {I}$ le milieu du côté $\mathrm {BC.}$ Menons la droite $\mathrm {AI,}$ prolongée jusqu’en $\mathrm {K}$ de manière que $\mathrm {AK=AC.}$ Soient pris en outre sur $\mathrm {AC,\ AI'=AI}$ et $\mathrm {I'P=AI',}$ et menons les droites $\mathrm {KI',}$ et $\mathrm {KP.}$ Les triangles $\mathrm {AKI',KI'P}$ seront respectivement égaux aux triangles