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nulle, c’est-à-dire, le cas où les trois points $(a,b),(a',b'),(a'',b'')$ appartiendraient à une même ligne droite ; mais, pour plus de symétrie, recourons à nos premières formules. En supposant ces trois points sur l’axe des $x,$ nous aurons $b=0,\ b'=0,\ b''=0,$ et les aires de nos trois triangles excédans deviendront

${\begin{aligned}&-{\frac {(a'-a'')(x-a')(x-a'')}{2y}},\\\\&-{\frac {(a''-a)(x-a'')(x-a)}{2y}},\\\\&-{\frac {(a-a')(x-a)(x-a')}{2y}},\end{aligned}}$

et, comme d’un autre côté l’aire du triangle donné est nulle, l’équation du lieu cherché sera simplement

$(a'-a'')(x-a')(x-a'')+(a''-a)(x-a'')(x-a)$

$+(a-a')(x-a)(x-a')+2k^{2}y=0\,;$

équation qui se réduit à

$2k^{2}y+a'a''(a'-a'')+a''a(a''-a)+aa'(a-a')=0,$

ou encore à

$2k^{2}y=(a-a')(a'-a'')(a''-a),$

dans laquelle $a-a',\ a'-a'',\ a''-a$ ne sont autre chose que les distances entre les trois points donnés pris deux à deux.

Ainsi, les points du plan d’une droite desquels menant des droites à trois points fixes pris sur cette dernière droite, et