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$\operatorname {Cos} .{\frac {3\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {3\pi }{n}},$

$\operatorname {Cos} .{\frac {5\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {5\pi }{n}},$



$\operatorname {Cos} .{\frac {(2n-1)\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {(2n-1)\pi }{n}},$

Si alors $n$ est un nombre pair, toutes ces valeurs, et par suite toutes celles de $a^{\frac {m}{n}}$ seront imaginaires ; mais si, au contraire, $n$ est impair, on rencontrera une valeur intermédiaire

$\operatorname {Cos} .\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\varpi =-1,$

et $a^{\frac {m}{n}}$ aura alors une valeur réelle $-A.$

5. Si l’on supposait ${\frac {m}{n}}$ négatif, $a^{\frac {m}{n}}$ reviendrait à ${\frac {1}{a^{\frac {m}{n}}}},$ dans lequel ${\frac {m}{n}}$ serait supposé positif, et en désignant par $A$ sa valeur arithmétique absolue, on en conclurait toutes ses valeurs en la multipliant par ${\frac {1}{(+1)^{\frac {m}{n}}}}$ ou ${\frac {1}{(-1)^{\frac {m}{n}}}},$ suivant le signe de $a\,;$ or,

${\frac {1}{(\pm 1)^{\frac {m}{n}}}}={\frac {(+1)^{\frac {m}{n}}}{(\pm 1)^{\frac {m}{n}}}}=\left({\frac {+1}{\pm 1}}\right)^{\frac {m}{n}}=(\pm 1)^{\frac {m}{n}}\,;$

d’où l’on voit que nous retomberions de nouveau sur toutes les conséquences que nous a donnée la supposition de ${\frac {m}{n}}>0.$

En faisant $m=2m'$ ou $2m'+1$ suivant que $m$ est pair ou imppair, et faisant aussi, dans les mêmes circonstances, $n=2n'$ ou $2n'+1,$