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${\frac {\left\{cc'\left(x^{2}+y^{2}\right)\operatorname {Sin} .\alpha ''+c^{2}(bx-ay)-c'^{2}(b'x-a'y)\right\}^{2}}{(bx-ay)(b'x-a'y)\left\{(b-b')x-(a-a')y+cc'\operatorname {Sin} .\alpha ''\right\}}}=2k^{2}\,;$

le lieu cherché du point $(x,y)$ est donc une ligne du quatrième ordre.

Il est aisé de voir que cette courbe passe par l’origine ; et, comme cette origine est un quelconque des sommets du triangle donné, il s’ensuit qu’elle doit passer par les trois sommets de ce triangle et quelle doit conséquemment lui être circonscrite. Cette circonstance, au surplus, était facile à prévoir. En prenant, en effet, un des sommets pour le point $(x,y),$ la direction de l’une des trois droites qui doivent concourir à former le triangle dont l’aire doit être égale à $k^{2}$ demeurera indéterminée ; d’où il suit qu’on pourra toujours prendre cette direction telle que la condition soit remplie.

Il est même facile de voir que la courbe passera deux fois par chaque sommet, puisque les termes les moins élevés de son équation sont de deux dimensions en $x$ et $y$. En ne conservant que ces seuls termes, l’équation résultante du second degré sera donc l’équation des deux tangentes à la courbe à l’origine. Cette équation est

$\left\{c^{2}(bx-ay)-c'^{2}(b'x-a'y)\right\}^{2}=2cc'k^{2}(bx-ay)(b'x-a'y)\operatorname {Sin} .\alpha ''.$

On doit observer que, comme géométriquement parlant, une surface n’est proprement susceptible d’aucun signe, $k^{2}$ peut être pris indistinctement en plus ou en moins ; de sorte qu’il y a proprement deux lignes du quatrième ordre, l’une et l’autre circonscrites au triangle donné, dont les points satisfont aux conditions du problème.