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${\frac {\operatorname {d} z}{z}}={\frac {\operatorname {d} \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,;$

d’où, en intégrant,

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Cz,$

équation commune à toutes les sphères qui touchent le plan des $xy$ à l’origine.

On peut donc définir la sphère une surface telle que les tangentes aux extrémités de ses cordes se coupent sur les plans perpendiculaires à leurs milieux ; ce qui rentre à peu près dans ce qui a été démontré géométriquement (tom. XIV, pag. 317).

PROBLÈME. Une des propriétés de la sphère est que les plans tangens aux extrémités de ses cordes font des angles égaux avec elles ; mais on conçoit que cette propriété pourrait fort bien n’être pas exclusive à la sphère. On propose donc d’examiner si elle ne conviendrait pas à d’autres surfaces courbes, et de donner, dans le cas de l’affirmative, l’équation générale de ces surfaces ?^[1]

Solution. Tout étant supposé ici comme dans le précédent problème, il faudra exprimer que la corde fait des angles égaux tant avec le plan tangent qu’avec le plan des $xy\,;$ égalant donc entre eux les sinus de ces angles, nous aurons

${\frac {z'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}}={\frac {z'-x'{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}-y'{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}}{\sqrt {\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\right\}}}}\,;$

1. C’est proprement là la question qui a été proposée.