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désormais superflus, on obtiendra pour l’équation différentielle des courbes cherchées

$\left(x^{2}-y^{2}\right)\operatorname {d} y=2xy\operatorname {d} x,$

ou bien

$\left(x^{2}+y^{2}\right)\operatorname {d} y=2y(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y),$

ou encore

${\frac {\operatorname {d} y}{y}}={\frac {\operatorname {d} \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}},$

d’où

$x^{2}+y^{2}=2Cy,$

équation commune à tous les cercles qui touchent l’axe des $x$ à l’origine.

On peut donc définir indistinctement le cercle une courbe telle que les tangentes aux extrémités de ses cordes font des angles égaux avec elles, ou une courbe telle que les tangentes aux extrémités de ses cordes se coupent sur les perpendiculaires à leurs milieux ; ce qui rentre à peu près dans ce qui a été démontré géométriquement (tom. XIV, pag. 316).

PROBLÈME. Quelle est l’équation la plus générale des surfaces courbes dans lesquelles les plans tangens aux deux extrémités de leurs cordes se coupent sur le plan perpendiculaire au milieu de ces cordes ?

Solution. Prenons respectivement pour plan des $xy$ et pour axe des $z$ le plan tangent et la normale en un point quelconque de la surface cherchée, lequel point sera conséquemment l’origine des coordonnées rectangulaires ; et soit $(x',y',z')$ un autre point quelconque de cette surface. La corde qui joindra ces deux points aura pour ses équations