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$\operatorname {Cos} .{\frac {4\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {4\pi }{n}},$



$\operatorname {Cos} .{\frac {2(n-1)\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2(n-1)\pi }{n}}.$

Si $n$ est impair $(+1)^{\frac {m}{n}}$ n’aura que la seule valeur réelle $+1\,;$ ce qui donnera pour $a^{\frac {m}{n}}$ la seule valeur réelle $+A\,;$ mais, si $n$ est un nombre pair, on aura en outre la valeur intermédiaire

$\operatorname {Cos} .\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\varpi =-1,$

de sorte que $a^{\frac {m}{n}}$ aura une seconde valeur réelle $-A.$

4. Si présentement $a$ est négatif, les $n$ valeurs de $a^{\frac {m}{n}}$ s’obtiendront, comme nous l’avons dit, en multipliant $A$ successivement par les $n$ valeurs de $(-1)^{\frac {m}{n}},$ qu’on obtiendra, à leur tour, en mettant successivement pour $k$ les valeurs $0,1,2,3,\ldots n-1$ dans la formule

$\operatorname {Cos} .{\frac {(2k+1)m\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {(2k+1)m\pi }{n}}.$

si $m$ est un nombre pair, $n$ sera nécessairement impair, et on aura, comme ci-dessus, la seule valeur réelle $+1\,;$ ce qui donnera aussi pour $a^{\frac {m}{n}}$ la seule valeur réelle $+A.$

Mais, si $m$ est impair, en ne tenant compte que des restes de division de $(2k+1)m$ par $n,$ on aura cette série de valeurs

$\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}},$