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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

trouvera compris entre $2n\varpi +{\frac {5}{4}}\varpi$ et $2n\varpi +{\frac {3}{2}}\varpi \,;\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ et $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x$ demeureront encore tous deux négatifs ; mais, abstraction faite des signes, ce sera alors $\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ qui sera le plus grand ; on devra donc écrire

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}.$

7.^o Si $x$ est compris entre $4n\varpi +3\varpi$ et $4n\varpi +{\frac {7}{2}}\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ se trouvera compris entre $2n\varpi +{\frac {3}{2}}\varpi$ et $2n\varpi +{\frac {7}{4}}\varpi \,;\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ demeurera donc toujours négatif ; mais $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x$ redeviendra positif, et sera le plus petit des deux, abstraction faite de son signe ; il faudra donc écrire

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}.$

8.^o Si enfin $x$ est compris entre $4n\varpi +{\frac {7}{2}}\varpi$ et $(4n+2)\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ se trouvera compris entre $2n\varpi +{\frac {7}{4}}\varpi$ et $(2n+1)\varpi \,;\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ sera encore négatif et $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x$ positif ; mais, abstraction faite des signes, ce dernier deviendra le plus grand ; de sorte qu’on devra avoir

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}.$

De toute cette discussion résultent, en résumé, les conséquences suivantes :

1.^o Si $x$ est compris entre $4n\varpi +{\frac {1}{2}}\varpi$ et $4n\varpi +{\frac {3}{2}}\varpi$ on aura

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}\,;$

et par suite

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x&={\frac {1}{2}}\left(+{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}}+{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}\right),\\\\\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x&={\frac {1}{2}}\left(+{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}}-{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}\right).\end{aligned}}$