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${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}x&=1,\\\\2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x&=\operatorname {Sin} .x.\end{aligned}}$

Prenant tour à tour la somme et la différence de ces deux équations, on aura

$\left(\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x\right)^{2}=1+\operatorname {Sin} .x,\quad \left(\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x\right)^{2}=1-\operatorname {Sin} .x,$

d’où on conclura

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=\pm {\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\qquad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=\pm {\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}\,;$

équations qui donneront immédiatement, par addition et soustraction, les valeurs de $\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ et $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x,$ dès qu’on aura levé l’ambiguïté qui résulte des doubles signes de leurs seconds membres.

Et remarquons bien que, dans le cas actuel, la discussion de ces signes est d’une toute autre importance qu’elle ne l’était dans le cas précédent. Alors, en effet, en la négligeant, nous aurions du moins obtenu les valeurs absolues de $\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ et de $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x,$ et nous n’aurions été exposés au plus qu’à une erreur de signe qui quelquefois n’est d’aucune importance, tandis qu’ici, où les valeurs de $\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ et $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x$ doivent se composer de deux termes radicaux, une méprise sur les signes de ces radicaux pourrait entraîner une erreur tant sur la valeur absolue que sur le signe de la quantité cherchée. Examinons donc quels doivent être les signes de ces radicaux dans les différens cas.

1.^o Si $x$ est compris entre $4n\varpi$ et $4n\varpi +{\frac {1}{2}}\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ sera compris entre $2n\varpi$ et $2n\varpi +{\frac {1}{4}}\varpi \,;\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ et $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x$ seront donc tous deux positifs ; mais on aura $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x>\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x\,;$ d’où il suit qu’il faudra prendre