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TRIGONOMÉTRIE.

Discussion des formules qui donnent les sinus et cosinus
de la moitié d’un angle en fonction soit du cosinus
soit du sinus de cet angle ;

Par M. L. C. Bouvier, ex-officier du génie, ancien élève
de l’école polytechnique.

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On sait que, quelque soit un angle $x,$ on a

$2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}x=1-\operatorname {Cos} .x,\qquad 2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}x=1+\operatorname {Cos} .x\,;$

d’où on tire

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}(1-\operatorname {Cos} .x)}},\qquad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}(1+\operatorname {Cos} .x)}}.$

Il sera facile de lever l’ambiguïté qui résulte des doubles signes de ces formules au moyen des remarques suivantes :

1.^o Si $x$ est compris entre $4n\varpi$ et $(4n+1)\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ sera compris entre $2n\varpi$ et $2.n\varpi +{\frac {1}{2}}\varpi ,$ et conséquemment on devra avoir

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {{\frac {1}{2}}(1-\operatorname {Cos} .x)}},\qquad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {{\frac {1}{2}}(1+\operatorname {Cos} .x)}}.$

2.^o Si $x$ est compris entre $(4n+1)\varpi$ et $(4n+2)\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ sera compris entre $2n\varpi +{\frac {1}{2}}\varpi$ et $2n\varpi +\varpi ,$ et conséquemment on devra avoir