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des côtés consécutifs de celui-là. L’aire de ce second polygone se réduira alors à

${\frac {m}{2}}r^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\varpi }{m}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{m}},$

comme on le trouverait d’ailleurs directement.

La distance $k$ étant quelconque, plus $m$ sera grand et plus le polygone régulier donné tendra à devenir un cercle ; donc aussi l’autre polygone tendra de plus en plus à devenir une ligne courbe ; et il le deviendra en effet lorsque $m$ sera infini ; mais, dans ce cas, on aura $\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{m}}=1$ et $m\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{m}}=$$m.{\frac {2\varpi }{m}}=2\varpi \,;$ en conséquence, la surface terminée par cette courbe aura pour expression

$\varpi r^{2}+{\frac {1}{2}}\varpi k^{2},$

c’est-à-dire qu’elle excédera la surface du cercle donné d’une quantité égale à la moitié de la surface du cercle qui aurait à pour rayon. Cherchons l’équation de cette courbe.

Soit

$x^{2}+y^{2}=r^{2},$

l’équation du cercle donné ; l’équation de la tangente en l’un quelconque $(x',y')$ des points de sa circonférence sera

$xx'+yy'=r^{2},\qquad \qquad$(1)

sous la condition

$x'^{2}+y'^{2}=r^{2}.\qquad \qquad$(2)

Si d’un point fixe $(a,b)$ nous abaissons une perpendiculaire sur cette tangente, l’équation de cette perpendiculaire sera

$(x-a)y'-(y-b)x'=0.\qquad$(3)