![{\displaystyle p'=r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}-k\operatorname {Cos} .\left[\left({\frac {2n\varpi }{m}}-\alpha \right)+{\frac {\varpi }{m}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4957f10e120002437f0583d3c9611cea3fd6d0c4)
Il est manifeste d’ailleurs que l’angle de ces deux perpendiculaires sera égal à l’angle extérieur ou encore à l’angle au centre du polygone donné, c’est-à-dire que cet angle sera égal à 
d’où il suit que ces perpendiculaires formeront avec la droite qui joint leurs pieds un triangle dont l’aire sera, suivant les principes connus, 
En mettant donc pour 
et 
les valeurs ci-dessus, on obtiendra pour l’aire de ce triangle
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\{r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}-k\operatorname {Cos} .\left[\left({\frac {2n\varpi }{m}}-\alpha \right)+{\frac {\varpi }{m}}\right]\right\}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e43d83526183db1bd8d1de33cee7d80ad1d5f4)
![{\displaystyle \left\{r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}-k\operatorname {Cos} .\left[\left({\frac {2n\varpi }{m}}-\alpha \right)-{\frac {\varpi }{m}}\right]\right\}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166d5e780a08ea11b27d787adb5b9da54021c359)
Le polygone dont l’aire est demandée sera composé de 
triangles dont on déduira l’aire de cette expression, en y mettant tour à tour pour 
tous les nombres naturels, depuis 
jusqu’à 
inclusivement. On aura donc l’aire demandée en sommant l’expression ci-dessus depuis la première de ces deux limites jusqu’à la seconde.
Mais, pour faciliter cette sommation, remarquons d’abord que les deux facteurs qui suivent le coefficient 
peuvent être écrits ainsi
ce qui donne pour leur produit
