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${\frac {\operatorname {d} y^{n}}{\operatorname {d} x^{n}}}=P_{n}y+Q_{n},\qquad$(2)

où $P_{n}$ et $Q_{n}$ seront encore des fonctions de $x$ sans $y,$ et $n$ un nombre entier positif quelconque.

Si, dans cette dernière équation, on suppose $n=0,$ elle deviendra

${\frac {\operatorname {d} ^{0}y}{\operatorname {d} x^{0}}}\quad$ou$\quad y=P_{0}y+Q_{0},$

d’où

$y={\frac {Q_{0}}{1-P_{0}}}\,;\qquad$(3)

d’où l’on voit que l’intégration de la proposée se réduit finalement à déterminer les deux fonctions $P_{0}$ et $Q_{0}.$ Or, c’est là une chose très-facile, ainsi qu’on va le voir.

En différentiant l’équation (2), on a

${\frac {\operatorname {d} ^{n+1}y}{\operatorname {d} x^{n+1}}}=P_{n}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} P_{n}}{\operatorname {d} x}}y+{\frac {\operatorname {d} Q_{n}}{\operatorname {d} x}}\,;$

ou, en mettant dans le second membre pour ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ sa valeur donnée par l’équation (1),

${\frac {\operatorname {d} ^{n+1}y}{\operatorname {d} x^{n+1}}}=\left(P_{1}P_{n}+{\frac {\operatorname {d} P_{n}}{\operatorname {d} x}}\right)y+\left(Q_{1}P_{n}+{\frac {\operatorname {d} Q_{n}}{\operatorname {d} x}}\right).$

Faisant, dan, cette dernière, $n=0,$ elle deviendra

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\left(P_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} P_{0}}{\operatorname {d} x}}\right)y+\left(Q_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} Q_{0}}{\operatorname {d} x}}\right).$

Celle-ci devant être identique avec l’équation (1), on aura