section sera une ellipse ou une hyperbole dont ces points de contact seront les deux foyers.
Réciproquement, toute ellipse ou toute hyperbole, c’est-à-dire, toute courbe plane telle que la somme ou la différence des distances de ses différens points à deux points fixes pris sur son plan est constante peut, et même d’une infinité de manières différentes, être considérée comme l’une des sections planes faites dans une ellipsoïde de révolution à une nappe. Si, en effet, par l’un quelconque des points du périmètre de cette courbe on conduit une droite hors de son plan, et qu’ensuite on conçoive deux sphères à la fois tangentes au plan de la courbe en ses deux foyers et tangentes à la droite arbitraire ; en faisant tourner tout le système autour de la droite qui joint les centres des deux sphères, l’arbitraire engendrera l’hyperboloïde demandée.
Il y a un cas particulier qui fait exception ; c’est celui où le plan de la section fait avec l’axe de l’hyperboloïde un angle précisément égal à celui que fait avec lui la génératrice de cette surface. Ce plan ne peut alors être touché que par une seule des sphères inscrites ou, si l’on veut, la seconde a son centre infiniment éloigné et son rayon infini ; mais on démontre aisément que, dans ce cas, les distances des divers points de la courbe au point de contact de la sphère avec son plan croissent exactement de la même quantité que les projections de ces distances sur l’axe de cette courbe, propriété qui appartient exclusivement à la parabole.
Si l’on se rappelle présentement que le cylindre droit et le cône droit ne sont que des cas particuliers de l’hyperboloïde de révolution à une nappe, on conclura de ce qui précède les deux théorèmes suivans :
THÉORÈME II. Toute section plane faite dans un cylindre droit est une ellipse dont les foyers sont les points de contact du plan coupant avec deux sphères inscrites au cylindre.
THÉORÈME III. Toute section plane faite dans un cône droit est une ellipse ou une hyperbole dont les foyers sont les points
