deux qui seront tangentes au plan coupant ; et il est visible que leurs points de contact avec lui seront tous deux situés sur la droite Désignons par le point de contact le plus voisin de et par le plus voisin de
Soit un quelconque des points du périmètre de la section dont nous étudions la nature, et par lequel il passe, comme par tous les autres, deux élémens rectilignes de l’hyperboloïde. Considérons seulement un de ces élémens : soit le point où cet élémens coupe la ligne de contact de l’hyperboloïde avec la sphère inscrite qui touche le plan coupant en et soit celui où ce même élément coupe la ligne de contact de cette surface avec la sphère inscrite qui touche le plan coupant en alors sera la portion d’élément interceptée entre les plans de deux sections perpendiculaires à l’axe, et conséquemment cette longueur sera constante quel que soit le point sur le périmètre de la section oblique.
Soient menées présentement et et remarquons que et sont deux tangentes menées à une même sphère d’un même point et qu’il en est de même de et d’où il suit qu’on doit avoir
donc, si le point se trouve situé entre et on aura
et si, au contraire, le point est sur le prolongement de en le supposant situé au-delà de on aura
de sorte qu’on a ce théorème :
THÉORÈME I. De quelque manière qu’une hyperboloïde de révolution à une nappe soit coupée par un plan ; si l’on conçoit deux sphères à la fois inscrites à cette surface et tangentes au plan coupant ; la somme ou la différence des distances des différens points du périmètre de la section aux points de contact de son plan avec les deux sphères sera constante ; c’est-à-dire, que la
