manière, dans les surfaces de révolution, en général, des cercles de rayon variable, ayant leurs centres sur l’axe de révolution ; et il est aisé de voir que toutes les portions d’élémens rectilignes de l’une et de l’autre séries, comprises entre deux tels cercles, sont de même longueur, puisque ce sont des droites également indignées entre deux plans parallèles. Chacune des sections circulaires de l’hyperboloïde peut d’ailleurs être indistinctement considérée comme sa ligne de contact soit avec une sphère inscrite soit avec lin cône droit inscrit ; et il est clair qu’alors le centre de la sphère ou le sommet du cône est dans l’axe de révolution.
Dans le cas particulier où la génératrice serait perpendiculaire à l’axe de révolution, il est manifeste que la surface engendrée serait un plan. Si, au contraire, cette génératrice était parallèle à l’axe, la surface engendrée serait un cylindre droit. Enfin cette surface serait un cône droit, si la génératrice, n’étant ni perpendiculaire ni parallèle à l’axe, leur plus courte distance était d’une longueur nulle, c’est-à-dire, si la génératrice et l’axe se rencontraient. Ainsi, le plan, le cylindre droit et le cône droit ne sont que des cas particuliers de l’hyperboloïde de révolution à une nappe.
II. Ces choses ainsi entendues, examinons la nature des sections planes faites dans une telle hyperboloïde. On voit d’abord clairement que, tant que le plan coupant fera avec l’axe un angle aigu plus grand que celui que fait avec lui la génératrice, la section sera une courbe fermée, tandis qu’au contraire lorsque le plan coupant fera avec l’axe un angle aigu plus grand que celui-là, la section sera formée de deux courbes séparées, ayant l’une et l’autre deux branches infinies.
Considérons, en particulier, une section de l’une ou de l’autre sorte ; et par l’axe imaginons un plan perpendiculaire au plan de la section, lequel le coupera suivant une droite les points et étant tous deux sur l’hyperboloïde. Parmi toutes les sphères qu’il est possible d’inscrire à cette surface, il y en aura toujours
