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$\varphi (x)\pm {\sqrt {-1}}\psi (x)=\left\{\operatorname {Cos} .\alpha \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha \right\}^{x},$

ou, en vertu du théorème d’Euler,

$\varphi (x)\pm {\sqrt {-1}}\psi (x)=\operatorname {Cos} .\alpha x\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha x,$

ce qui donne évidemment

$\left.{\begin{aligned}&\varphi (x)=\operatorname {Cos} .\alpha x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots ,\\\\&\psi (x)=\operatorname {Sin} .\alpha x={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \,;\end{aligned}}\right\}\quad (28)$

il reste donc à déterminer l’angle constant $\alpha .$

On a, comme l’on sait, en prenant $x$ suffisamment petit

$\alpha x\left\{{\begin{aligned}&>\operatorname {Sin} .\alpha x,\\&<\operatorname {Tang} .\alpha x={\frac {\operatorname {Sin} .\alpha x}{\operatorname {Cos} .\alpha x}}\,;\end{aligned}}\right.$

donc on a

${\frac {\operatorname {Sin} .\alpha x}{\alpha x}}\left\{{\begin{aligned}&<1,\\&>\operatorname {Cos} .\alpha x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \,;\end{aligned}}\right.$

ou, en mettant pour $\operatorname {Sin} .\alpha x$ sa valeur ${\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots ,$

${\frac {1}{\alpha }}\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots \right)\left\{{\begin{aligned}&<1,\\&>1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots \end{aligned}}\right.$

En supposant $x$ décroissant indéfiniment, la première inégalité tendra sans cesse à devenir ${\frac {1}{\alpha }}<1$ ou $\alpha >1,$ tandis que l’autre, au contraire, tendra sans cesse à devenir ${\frac {1}{\alpha }}>1$ ou $\alpha <1\,;$ ces deux