Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/397

$\left.{\begin{aligned}&\varphi (x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\ldots ,\\\\&\psi (x)={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\ldots ,\end{aligned}}\right\}\quad (24)$

nous aurons

$\left.{\begin{aligned}e^{+x{\sqrt {-1}}}=\varphi (x)+{\sqrt {-1}}.\psi (x),\\\\e^{-x{\sqrt {-1}}}=\varphi (x)-{\sqrt {-1}}.\psi (x)\,;\end{aligned}}\right\}\quad (25)$

d’où, en multipliant

$1=\left\{\varphi (x)\right\}^{2}+\left\{\psi (x)\right\}^{2}\,;\qquad$(26)

de sorte que $\varphi (x)$ et $\psi (x)$ sont, pour chaque valeur de $x,$ les sinus et cosinus d’un certain angle. Cherchons à le déterminer.

En posant $x=1,$ dans les équations (24), elles donnent

${\begin{aligned}&\varphi (1)=1-{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{6!}}+\ldots ,\\\\&\psi (1)={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{5!}}-{\frac {1}{7!}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

ce qui donne, en faisant aussi $x=1,$ dans l’équation (23),

$e^{\pm {\sqrt {-1}}}=\varphi (1)\pm {\sqrt {-1}}.\psi (1),$

d’où

$e^{\pm x{\sqrt {-1}}}=\varphi (x)\pm {\sqrt {-1}}.\psi (x)=\left\{\varphi (1)\pm {\sqrt {-1}}.\psi (1)\right\}^{x}\,;\quad$(27)

et, comme on a (26)

$\left\{\varphi (1)\right\}^{2}+\left\{\psi (1)\right\}^{2}=1,$

il est permis de considérer $\varphi (1)$ et $\psi (1)$ comme les sinus et cosinus d’un certain angle constant $\alpha ,$ et de poser, conséquemment

${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .\alpha =\varphi (1)=1-{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{6!}}+\ldots ,\\\\&\operatorname {Sin} .\alpha =\psi (1)={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{5!}}-{\frac {1}{7!}}+\ldots \end{aligned}}$

l’équation (27) deviendra alors